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高等函数的极限与连续性证明

来源:www.runjinvip.com 时间:2024-07-11 03:33:49 作者:久久大学网 浏览: [手机版]

本文目录:

高等函数的极限与连续性证明(1)

随着数学的展,高等函数的研究越来越深入,其中极限与连续性是高等函数中最基础的概念之一原文www.runjinvip.com。在大学高等函数考中,证明极限与连续性是见的考题之一。本文将介绍高等函数的极限与连续性的定义及其证明方法。

一、极限的定义及证明方法

  在高等函数中,极限是一个重要的概念。极限的定义如下:

  设函数f(x)在x0的某个域内有定义,如果对于任意给定的正数ε,都存在一个正数δ,得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-L|<ε成立,那么称函数f(x)在x0处的极限为L,记作limx→x0f(x)=L。

其中,L为函数f(x)在x0处的极限值,x0为极限点,ε为差,δ为极限距离。

证明极限的方法有很多种,以下是两种见的证明方法:

  1. ε-δ法

  ε-δ法是证明极限的用方法,其基本思想是通控制自变量与函数值之间的距离,来证明函数在某一点处的极限www.runjinvip.com

具体步骤如下:

  (1)先根据极限的定义,确定ε和δ的关系式。

  (2)根据δ的限制条件,确定x与x0的距离。

  (3)将x与x0的距离代入函数f(x)中,得到|f(x)-L|<ε的形式。

  (4)根据上步骤,推导出满足条件的ε和δ的关系式。

(5)最后,证明对于任意ε,都存在一个δ,得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-L|<ε成立。

  2. 夹逼准则

  夹逼准则是一种用的证明极限的方法,其基本思想是通构造两个函数,一个上夹一个下夹,来证明函数在某一点处的极限久久大学网www.runjinvip.com

具体步骤如下:

(1)找到一个函数g(x),得g(x)≤f(x)≤h(x),且limx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L。

  (2)由于g(x)≤f(x)≤h(x),所以当x→x0时,g(x)与h(x)的值都趋近于L。

  (3)根据夹逼准则,得到limx→x0f(x)=L。

二、连续性的定义及证明方法

  连续性是高等函数中另一个重要的概念,其定义如下:

高等函数的极限与连续性证明(1)

设函数f(x)在x0的某个域内有定义,如果limx→x0f(x)=f(x0),那么称函数f(x)在x0处连续。

  其中,x0为连续点,f(x0)为连续点的函数值。

证明连续性的方法有很多种,以下是两种见的证明方法:

1. ε-δ法

ε-δ法同样适用于证明连续性,其基本思想是通控制自变量与函数值之间的距离,来证明函数在某一点处连续www.runjinvip.com久久大学网

  具体步骤如下:

(1)先根据连续性的定义,确定ε和δ的关系式。

(2)根据δ的限制条件,确定x与x0的距离。

(3)将x与x0的距离代入函数f(x)中,得到|f(x)-f(x0)|<ε的形式。

  (4)根据上步骤,推导出满足条件的ε和δ的关系式。

  (5)最后,证明对于任意ε,都存在一个δ,得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-f(x0)|<ε成立。

2. 用极限的性质证明连续性

  用极限的性质证明连续性也是一种见的方法,其基本思想是通极限的性质来证明函数在某一点处连续欢迎www.runjinvip.com

  具体步骤如下:

  (1)用极限的定义和性质,得到limx→x0[f(x)-f(x0)]=0。

  (2)将上式转化为|f(x)-f(x0)|=|f(x)-f(x0)+[f(x)-f(x0)]|≤|f(x)-L|+|L-f(x0)|。

(3)由于当x→x0时,limx→x0f(x)=f(x0),所以可以得到|f(x)-L|<ε/2和|L-f(x0)|<ε/2。

  (4)将上结果代入|f(x)-f(x0)|≤|f(x)-L|+|L-f(x0)|中,得到|f(x)-f(x0)|<ε。

  (5)最后,证明对于任意ε,都存在一个δ,得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-f(x0)|<ε成立。

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